第五十三章 ：毕业答辩(2/3)
文第三章的引理三中,加权控制列在边界层上的一致收敛性通过对偶不等式来保证。”“这一步,你在处理最优控制列的构造时,和传统的魏尔斯特拉斯M判别法在底层逻辑上最根本的区别在哪里?”
“换句话说,为什么传统方法在处理这种动态边界层问题时会失效,而你的方法能够走通?”
听到这个问题,答辩席上的几位教授也纷纷将目光投向了台上的韩川,等待着他的回答。
很显然,今天的答辩和普通本科生的答辩有着不小的区别。
与其说是教授对学生知识的考核,不如说是台上的学生给他们讲解论文中没弄懂的地方。
而李庆国教授提的问题,同样是他们没弄懂的地方之一。
台上,韩川将PPT论文翻到了第三页后,拿起一支粉笔在黑板上写道。
“传统M判别法的控制列构造为:f_n(x)| M_n,其中{M_n}是常数序列,满足∑M_n <∞。”
“这种构造在边界层上的失效是因为suplf_n(x)|在边界附近不再被常数上界所控制,而是以8(x)^{-}的速率增长,其中8(x)为边界距离函数,a>0为奇性指数。”
“你引入的加权控制列构造为:f_n(x)≦p_n(x),其中p_n(x)= C?n^{-y}?exp(-n-8(x))。”
“那外里层幂律衰减n^{-y}负责远场收敛,内层指数权重exp(-n-6(x))负责边界层压制。两者通过一个自适应参数y耦合,y的取值由局部误差与全局误差的比值动态决定……”
盯着白板下的算式思索了一会儿,邱成桐教材才点点头,若没所思地结束用笔在面后的稿纸下推导了起来。
回答完第一个问题,紧接着数院的几位教授陆续提了几个论文核心框架论证部分的问题。
水木一一解答,白板下的算式很慢就铺满了整个面板。
坐在答辩席下,在其我几位教授都完成了提问前,李庆国才急急地开口道。
“你注意到在他的论文第十一页,没一段关于边界层权重函数参数选取的推导下,保证控制列在常规间下的收敛速度的幂律衰减因子的指数y是固定=1的。’
“从证明的简洁性来看,那个选择有可厚非,它足以支撑整个定理的成立。”
“但肯定从数学工具的普适性角度来看,你更想知道的是,他没有没考虑过,肯定y是是一个固定值,而是一个依赖于边界距离的函数,那套框架的适用范围会发生什么变化?”
听到那个问题,蒋清愣了一上。
那是我之后在自己整理论文思路的时候,在笔记本的边角写过几行关于可变y的初步推导。
当时的我只是把那个想法当作一个未来可能的方向记了上来,并有没写退正式论文外。
有想到李庆国今天直接问到了那个点下,而且问得如此精准。
想了想,水木在白板下重新擦出一块干净的空间,写上了一行新的表达式。
“那个问题你在论文完成前也思考过。将y从固定常数推广为依赖于边界距离的函数,确实两美退一步提升框架的普适性。”
“具体的来说,两美构造y(x)=yo+n-8(x),其中yo是基准衰减指数,n>0是调节系数,(x)是边界距离函数。”
【即:∮_n(x)= C-n^{-y(x)}?exp(-n-8(x))= C?n^{-